线性代数示例

$[\begin{array}{c} 1 - x & 1 & - 2 \\ - 1 & 2 - x & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - x \end{array}]$

解题步骤 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

解题步骤 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

解题步骤 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

解题步骤 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

解题步骤 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.9

Add the terms together.

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

解题步骤 2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$ 。

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

解题步骤 3

计算 $| \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$(1 - x) ((2 - x) (- 1 - x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

解题步骤 3.2

化简行列式。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(2 - x) (- 1 - x)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用分配律。

$(1 - x) (2 (- 1 - x) - x (- 1 - x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

解题步骤 3.2.1.1.2

运用分配律。

$(1 - x) (2 \cdot - 1 + 2 (- x) - x (- 1 - x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

解题步骤 3.2.1.1.3

运用分配律。

$(1 - x) (2 \cdot - 1 + 2 (- x) - x \cdot - 1 - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

解题步骤 3.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(1 - x) (- 2 + 2 (- x) - x \cdot - 1 - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

解题步骤 3.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$(1 - x) (- 2 - 2 x - x \cdot - 1 - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

解题步骤 3.2.1.2.1.3

乘以 $- x \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$(1 - x) (- 2 - 2 x + 1 x - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

解题步骤 3.2.1.2.1.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

解题步骤 3.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

解题步骤 3.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.1.5.1

移动 $x$ 。

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

解题步骤 3.2.1.2.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

解题步骤 3.2.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x + 1 x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

解题步骤 3.2.1.2.1.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x + x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

解题步骤 3.2.1.2.2

将 $- 2 x$ 和 $x$ 相加。

$(1 - x) (- 2 - x + x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

解题步骤 3.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(1 - x) (- 2 - x + x^{2} - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

解题步骤 3.2.2

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

解题步骤 4

计算 $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$ 。

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解题步骤 4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (1 (- 1 - x) - 1 \cdot - 2) + 0$

解题步骤 4.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $- 1 - x$ 乘以 $1$ 。

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- 1 - x - 1 \cdot - 2) + 0$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- 1 - x + 2) + 0$

解题步骤 4.2.2

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- x + 1) + 0$

解题步骤 5

化简行列式。

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解题步骤 5.1

将 $(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- x + 1)$ 和 $0$ 相加。

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- x + 1)$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(1 - x) (- x + x^{2} - 3)$ 。

$1 (- x) + 1 x^{2} + 1 \cdot - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

解题步骤 5.2.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$- x + 1 x^{2} + 1 \cdot - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

解题步骤 5.2.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- x + x^{2} + 1 \cdot - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

解题步骤 5.2.2.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- x + x^{2} - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

解题步骤 5.2.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$- x + x^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

解题步骤 5.2.2.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.2.5.1

移动 $x$ 。

$- x + x^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

解题步骤 5.2.2.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- x + x^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

解题步骤 5.2.2.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- x + x^{2} - 3 + 1 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

解题步骤 5.2.2.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

解题步骤 5.2.2.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.2.8.1

移动 $x^{2}$ 。

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - (x^{2} x) - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

解题步骤 5.2.2.8.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.2.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - (x^{2} x^{1}) - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

解题步骤 5.2.2.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x^{2 + 1} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

解题步骤 5.2.2.8.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x^{3} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

解题步骤 5.2.2.9

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x^{3} + 3 x + 1 (- x + 1)$

解题步骤 5.2.3

将 $- x$ 和 $3 x$ 相加。

$x^{2} - 3 + x^{2} - x^{3} + 2 x + 1 (- x + 1)$

解题步骤 5.2.4

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$2 x^{2} - 3 - x^{3} + 2 x + 1 (- x + 1)$

解题步骤 5.2.5

将 $- x + 1$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{2} - 3 - x^{3} + 2 x - x + 1$

解题步骤 5.3

将 $- 3$ 和 $1$ 相加。

$2 x^{2} - x^{3} + 2 x - x - 2$

解题步骤 5.4

从 $2 x$ 中减去 $x$ 。

$2 x^{2} - x^{3} + x - 2$

线性代数 示例

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